Os números naturais servem para contar.
O símbolo utilizado para representar o conjunto dos números naturais é:
O conjunto dos Números Naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} (asterisco exclui o zero)
Para construir este conjunto, é necessário observar as regras abaixo:
A) Todo Número Natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um Número Natural,
1) o sucessor de m é m+1;
2) o sucessor de 0 é 1;
3) o sucessor de 1 é 2;
4) o sucessor de 19 é 20.
B) Se um Número Natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos:
1) 1 e 2 são números consecutivos;
2) 5 e 6 são números consecutivos;
3) 50 e 51 são números consecutivos;
4) m e m + 1 são números consecutivos.
C) Todo Número Natural, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um Número Natural finito diferente de zero,
1) o antecessor do número m é m-1;
2) o antecessor de 2 é 1;
3) o antecessor de 56 é 55.
Obs.:
a) O conjunto P = {0, 2, 4, 6, ...} é conhecido como o conjunto dos Números Naturais Pares (divisão por dois dá resto zero).
b) O conjunto I = {1, 3, 5, 7, ...}é conhecido como o conjunto dos Números Naturais Ímpares, (divisão por dois dá resto um).
c) Números Naturais na reta numérica:
ADIÇÃO
Uma das ideias da adição é a de juntar quantidades. João coleciona selos. Ele tem 134 selos nacionais e 248 selos internacionais. Quantos selos João têm ao todo? Para resolver este problema temos que juntar as duas quantidades. Vamos resolver esta adição de diferentes formas.
1º) Material Dourado:
Atividade sugerida:
Objeto de aprendizagem online:
2º) QVL:
3º) Algoritmo Usual:
4º) Algoritmo por Decomposição:
Outra ideia associada à adição é a de acrescentar uma quantidade à outra já existente.
Se João comprar mais 73 selos, qual será o total de selos que ele passará a ter?
Outros exemplos: utilizando o ábaco, para realizar adições, conforme exemplo a seguir:
Propriedades da Adição no Conjunto dos Números Naturais
A adição, no conjunto dos Números Naturais, possui algumas propriedades.
a) Propriedade Comutativa
A adição de números naturais possui a propriedade comutativa. Ou seja, numa adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. Isto é, para quaisquer dois números naturais a e b, temos a + b = b + a.
b) Propriedade Associativa
Observe:
Embora tenhamos associado as parcelas de modos diferentes, a soma é sempre a mesma. Dizemos que a adição de Números Naturais admite a propriedade associativa. Ou seja, numa adição de três ou mais parcelas, é indiferente quais delas vamos adicionar inicialmente. Isto é, para quaisquer números naturais a, b
e c, temos (a + b) + c = a + (b + c).
c) Elemento Neutro
Vamos analisar as seguintes adições:
3 + 0 = 3 e 0 + 3 = 3
5 + 0 = 5 e 0 + 5 = 5
Podemos perceber que a adição de um Número Natural com zero (e vice – versa), é igual ao próprio número. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição.
a) Rafael economizou durante 6 meses R$ 245,00. Com esse dinheiro comprou um livro por R$ 37,00. Com quanto dinheiro ele ficou após comprar o livro?
Para resolver este problema temos que tirar 37 de 245. Vamos resolver esta subtração de diferentes formas:
1º) Algoritmo por Decomposição:
2º) Material Dourado:
Atividade sugerida:
Objeto de aprendizagem online:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.
html
3º) QVL:
4º) Algoritmo Usual:
Outra ideia associada à subtração é a de comparar quantidades. A comparação é feita com perguntas do tipo: quanto uma delas tem a mais que a outra; quanto falta para uma delas atingir a outra (completar); qual é a diferença entre elas. Vamos analisar a situação:
1º) Adição de parcelas iguais:
Utilizando esta ideia (adição de parcelas iguais), podemos criar com os alunos histórias para contextualizar a “tabuada”. A seguir um exemplo de história criada para a tabuada do quatro.
Lilica era conhecida na escola como uma menina de muita, muita sorte. Diziam até que, se ela comprasse um número em um sorteio, o prêmio sem dúvida seria o dela.
- Olha Maria, achei uma moeda de R$ 1,00 no chão, disse Lilica.
Maria olhava e custava a acreditar. Para ela isso nunca tinha acontecido.
As duas amigas estavam passando ao lado de um canteiro de trevos quando Maria resolveu apostar com a amiga.
- Duvido que a cada dia, durante dez dias, você encontre neste canteiro um trevo de quatro folhas, disse Maria.
- Aposto contigo o lanche do décimo dia. Tenho certeza que vou encontrar um trevo todos os dias, retrucou Lilica.
Pois, duvidem ou não, Lilica ganhou a aposta.
Como cada trevo da sorte tem quatro folhas, como poderemos saber quantas folhas Lilica acumulou a cada dia. Observe o esquema a seguir:
Criando histórias podemos preencher a tábua de multiplicação:
Os alunos devem utilizar essa tábua nas aulas, para multiplicar e dividir. Para multiplicar, por exemplo, 7 x 8, o aluno deve procurar a linha 7 e a coluna 8. A intersecção entre a linha e a coluna corresponde ao resultado de 7 x 8 = 56
Leitura sugerida:
GROENWALD, C. L. O. (org). Construindo a tabuada. Canoas/RS: Ulbra, 1997.
2º) Pensamento Combinatório:
São situações onde realizamos todos os possíveis agrupamentos distintos entre elementos.
1) Vamos encontrar quantos trajes diferentes é possível formar com uma calça, uma saia e 3 camisetas. Observe o esquema abaixo. Com os alunos construa “as roupinhas” para possibilitar a manipulação.
2) Na sorveteria podemos comprar picolé ou sorvete, de pêssego ou de morango. Quantos tipos diferentes estão à venda? Observe esta tabela de dupla entrada:
3º) Disposição Retangular:
Esta “ideia de multiplicação” é utilizada em situações como para contar objetos, pessoas, animais, que estão em filas retangulares.
A galinha Maricotinha colocou seus filhotes em fila para facilitar a contagem.
Observe a figura.
Atividades sugeridas:
Jogo online: tem por objetivo a memorização da tabuada (fatos numéricos).
http://www.multiplication.com/flashgames/SuperStars/superstars.htm
Objeto de aprendizagem online:
h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e s / n a v / f r a m e s _ a s i d _ 1 9 2 _ g _ 1 _ t _ 1 .
html?from=category_g_1_t_1.html
4º) Proporcionalidade:
Para trabalhar essa “ideia da multiplicação de proporcionalidade” podemos utilizar receitas. Por exemplo:
Note que entre a primeira e a segunda linha os ingredientes foram multiplicados por 2, isto é, dobraram. Esta é a ideia de dobro. Quando queremos encontrar o dobro de certa quantidade, basta multiplicá-la por dois.
Entre a primeira e a terceira linha os ingredientes foram multiplicados por 3, isto é, triplicaram. Esta é a ideia de triplo. Quando queremos encontrar o triplo de certa quantidade, basta multiplicá-la por três.
Propriedades da Multiplicação no Conjunto dos Números Naturais
Como na operação de adição no conjunto dos Números Naturais, a multiplicação também possui propriedades.
a) Propriedade Comutativa
Observe a seguinte situação:
Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento, teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento.
Isto é: m x n = n x m
b) Propriedade Associativa
Observe:
e c, temos (a + b) + c = a + (b + c).
c) Elemento Neutro
Vamos analisar as seguintes adições:
3 + 0 = 3 e 0 + 3 = 3
5 + 0 = 5 e 0 + 5 = 5
Podemos perceber que a adição de um Número Natural com zero (e vice – versa), é igual ao próprio número. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição.
SUBTRAÇÃO
Uma das ideias da subtração é a de tirar uma quantidade da outra.a) Rafael economizou durante 6 meses R$ 245,00. Com esse dinheiro comprou um livro por R$ 37,00. Com quanto dinheiro ele ficou após comprar o livro?
Para resolver este problema temos que tirar 37 de 245. Vamos resolver esta subtração de diferentes formas:
1º) Algoritmo por Decomposição:
2º) Material Dourado:
Atividade sugerida:
Objeto de aprendizagem online:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.
html
3º) QVL:
4º) Algoritmo Usual:
Outra ideia associada à subtração é a de comparar quantidades. A comparação é feita com perguntas do tipo: quanto uma delas tem a mais que a outra; quanto falta para uma delas atingir a outra (completar); qual é a diferença entre elas. Vamos analisar a situação:
MULTIPLICAÇÃO:
Há muitas situações nas quais podemos utilizar a operação de multiplicação. A multiplicação está relacionada com a ideia de: adição de parcelas iguais, disposição retangular, combinação e proporcionalidade.1º) Adição de parcelas iguais:
MENINA DE MUITA SORTE
- Olha Maria, achei uma moeda de R$ 1,00 no chão, disse Lilica.
Maria olhava e custava a acreditar. Para ela isso nunca tinha acontecido.
As duas amigas estavam passando ao lado de um canteiro de trevos quando Maria resolveu apostar com a amiga.
- Duvido que a cada dia, durante dez dias, você encontre neste canteiro um trevo de quatro folhas, disse Maria.
- Aposto contigo o lanche do décimo dia. Tenho certeza que vou encontrar um trevo todos os dias, retrucou Lilica.
Pois, duvidem ou não, Lilica ganhou a aposta.
Como cada trevo da sorte tem quatro folhas, como poderemos saber quantas folhas Lilica acumulou a cada dia. Observe o esquema a seguir:
Os alunos devem utilizar essa tábua nas aulas, para multiplicar e dividir. Para multiplicar, por exemplo, 7 x 8, o aluno deve procurar a linha 7 e a coluna 8. A intersecção entre a linha e a coluna corresponde ao resultado de 7 x 8 = 56
Leitura sugerida:
GROENWALD, C. L. O. (org). Construindo a tabuada. Canoas/RS: Ulbra, 1997.
2º) Pensamento Combinatório:
São situações onde realizamos todos os possíveis agrupamentos distintos entre elementos.
1) Vamos encontrar quantos trajes diferentes é possível formar com uma calça, uma saia e 3 camisetas. Observe o esquema abaixo. Com os alunos construa “as roupinhas” para possibilitar a manipulação.
Esta “ideia de multiplicação” é utilizada em situações como para contar objetos, pessoas, animais, que estão em filas retangulares.
A galinha Maricotinha colocou seus filhotes em fila para facilitar a contagem.
Observe a figura.
Jogo online: tem por objetivo a memorização da tabuada (fatos numéricos).
http://www.multiplication.com/flashgames/SuperStars/superstars.htm
Objeto de aprendizagem online:
h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e s / n a v / f r a m e s _ a s i d _ 1 9 2 _ g _ 1 _ t _ 1 .
html?from=category_g_1_t_1.html
4º) Proporcionalidade:
Para trabalhar essa “ideia da multiplicação de proporcionalidade” podemos utilizar receitas. Por exemplo:
Entre a primeira e a terceira linha os ingredientes foram multiplicados por 3, isto é, triplicaram. Esta é a ideia de triplo. Quando queremos encontrar o triplo de certa quantidade, basta multiplicá-la por três.
Propriedades da Multiplicação no Conjunto dos Números Naturais
Como na operação de adição no conjunto dos Números Naturais, a multiplicação também possui propriedades.
a) Propriedade Comutativa
Observe a seguinte situação:
Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento, teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento.
Isto é: m x n = n x m
b) Propriedade Distributiva
Observe a seguinte situação e determine o número de figuras geométricas:
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m . ( p + q ) = m . p + m . q
A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, também é válida para a subtração.
6 . 5 – 6 . 2 = 6 . (5 – 2) =
30 – 12 = 18 6 . 3 = 18
c) Propriedade Associativa
Observe a situação:
Temos 3 caixas, com 6 pacotes de bombom em cada caixa. Cada pacote de bombom contém 12 bombons.
Para resolver podemos fazer de diferentes formas:
(3 x 6) x 12 3 x (6 x 12) =
18 x 12 = 216 3 x 72 = 216
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