Conjunto dos Números Reais

Conjunto dos Números Irracionais

Conjunto dos Números Racionais

Conjunto dos Números Inteiros

oi

Conjunto dos Números Naturais

Os números naturais servem para contar.

O símbolo utilizado para representar o conjunto dos números naturais é:
 

O conjunto dos Números Naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} (asterisco exclui o zero)

Para construir este conjunto, é necessário observar as regras abaixo:

A) Todo Número Natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um Número Natural,

1) o sucessor de m é m+1;

2) o sucessor de 0 é 1;

3) o sucessor de 1 é 2;

4) o sucessor de 19 é 20.

B) Se um Número Natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos:

1) 1 e 2 são números consecutivos;

2) 5 e 6 são números consecutivos;

3) 50 e 51 são números consecutivos;

4) m e m + 1 são números consecutivos.

C) Todo Número Natural, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um Número Natural finito diferente de zero,

1) o antecessor do número m é m-1;

2) o antecessor de 2 é 1;

3) o antecessor de 56 é 55.

Obs.:

a) O conjunto P = {0, 2, 4, 6, ...} é conhecido como o conjunto dos Números Naturais Pares (divisão por dois  dá resto zero).

b) O conjunto I = {1, 3, 5, 7, ...}é conhecido como o conjunto dos Números Naturais Ímpares, (divisão por dois dá resto um).

c) Números Naturais na reta numérica:

 

ADIÇÃO

Uma das ideias da adição é a de juntar quantidades. João coleciona selos. Ele tem 134 selos nacionais e 248 selos internacionais. Quantos selos João têm ao todo? Para resolver este problema temos que juntar as duas quantidades. Vamos resolver esta adição de diferentes formas.

1º)  Material Dourado:

Atividade sugerida:

Objeto de aprendizagem online:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_154_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1. html

2º)  QVL:

3º)  Algoritmo Usual:

4º)  Algoritmo por Decomposição:

Outra ideia associada à adição é a de acrescentar uma quantidade à outra já existente.

Se João comprar mais 73 selos, qual será o total de selos que ele passará a ter?

Outros exemplos: utilizando o ábaco, para realizar adições, conforme exemplo a seguir:

Propriedades da Adição no Conjunto dos Números Naturais

A adição, no conjunto dos Números Naturais, possui algumas propriedades.

a) Propriedade Comutativa

A adição de números naturais possui a propriedade comutativa. Ou seja, numa adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. Isto é, para quaisquer dois números naturais a e b, temos a + b = b + a.

b) Propriedade Associativa

Observe:

Embora tenhamos associado as parcelas de modos diferentes, a soma é sempre a mesma. Dizemos que a adição de Números Naturais admite a propriedade associativa. Ou seja, numa adição de três ou mais parcelas, é indiferente quais delas vamos adicionar inicialmente. Isto é, para quaisquer números naturais a, b
e c, temos (a + b) + c = a + (b + c).

c) Elemento Neutro

Vamos analisar as seguintes adições:

3 + 0 = 3 e 0 + 3 = 3
5 + 0 = 5 e 0 + 5 = 5

Podemos perceber que a adição de um Número Natural com zero (e vice – versa), é igual ao próprio número. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição.

SUBTRAÇÃO

Uma das ideias da subtração é a de tirar uma quantidade da outra.

a) Rafael economizou durante 6 meses R$ 245,00. Com esse dinheiro comprou um livro por R$ 37,00. Com quanto dinheiro ele ficou após comprar o livro?

Para resolver este problema temos que tirar 37 de 245. Vamos resolver esta subtração de diferentes formas:

1º)  Algoritmo por Decomposição: 

2º)  Material Dourado:

 
Atividade sugerida:

Objeto de aprendizagem online:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.
html


3º)  QVL:

4º)  Algoritmo Usual:

Outra ideia associada à subtração é a de comparar quantidades. A comparação é feita com perguntas do tipo: quanto uma delas tem a mais que a outra; quanto falta para uma delas atingir a outra (completar); qual é a diferença entre elas. Vamos analisar a situação:

MULTIPLICAÇÃO:

Há muitas situações nas quais podemos utilizar a operação de multiplicação. A multiplicação está relacionada com a ideia de: adição de parcelas iguais, disposição retangular, combinação e proporcionalidade.

1º) Adição de parcelas iguais:

Utilizando esta ideia (adição de parcelas iguais), podemos criar com os alunos histórias para contextualizar a “tabuada”. A seguir um exemplo de história criada para a tabuada do quatro.

MENINA DE MUITA SORTE

Lilica era conhecida na escola como uma menina de muita, muita sorte. Diziam até que, se ela comprasse um número em um sorteio, o prêmio sem dúvida seria o dela.
- Olha Maria, achei uma moeda de R$ 1,00 no chão, disse Lilica.
Maria olhava e custava a acreditar. Para ela isso nunca tinha acontecido.
As duas amigas estavam passando ao lado de um canteiro de trevos quando Maria resolveu apostar com a amiga.
- Duvido que a cada dia, durante dez dias, você encontre neste canteiro um trevo de quatro folhas, disse Maria.
- Aposto contigo o lanche do décimo dia. Tenho certeza que vou encontrar um trevo todos os dias, retrucou Lilica.
Pois, duvidem ou não, Lilica ganhou a aposta.

Como cada trevo da sorte tem quatro folhas, como poderemos saber quantas folhas Lilica acumulou a cada dia. Observe o esquema a seguir:

 

Criando histórias podemos preencher a tábua de multiplicação:

Os alunos devem utilizar essa tábua nas aulas, para multiplicar e dividir. Para multiplicar, por exemplo, 7 x 8, o aluno deve procurar a linha 7 e a coluna 8. A intersecção entre a linha e a coluna corresponde ao resultado de 7 x 8 = 56

Leitura sugerida:

GROENWALD, C. L. O. (org). Construindo a tabuada. Canoas/RS: Ulbra, 1997.

2º) Pensamento Combinatório:

São situações onde realizamos todos os possíveis agrupamentos distintos entre elementos.

1) Vamos encontrar quantos trajes diferentes é possível formar com uma calça, uma saia e 3 camisetas. Observe o esquema abaixo. Com os alunos construa “as roupinhas” para possibilitar a manipulação.

2) Na sorveteria podemos comprar picolé ou sorvete, de pêssego ou de morango. Quantos tipos diferentes estão à venda? Observe esta tabela de dupla entrada:

3º) Disposição Retangular:

Esta “ideia de multiplicação” é utilizada em situações como para contar objetos, pessoas, animais, que estão em filas retangulares.

A galinha Maricotinha colocou seus filhotes em fila para facilitar a contagem.
Observe a figura.

Atividades sugeridas:

Jogo online: tem por objetivo a memorização da tabuada (fatos numéricos).
http://www.multiplication.com/flashgames/SuperStars/superstars.htm

Objeto de aprendizagem online:
h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e s / n a v / f r a m e s _ a s i d _ 1 9 2 _ g _ 1 _ t _ 1 .
html?from=category_g_1_t_1.html

4º) Proporcionalidade:

Para trabalhar essa “ideia da multiplicação de proporcionalidade” podemos utilizar receitas. Por exemplo:

Note que entre a primeira e a segunda linha os ingredientes foram multiplicados por 2, isto é, dobraram. Esta é a ideia de dobro. Quando queremos encontrar o dobro de certa quantidade, basta multiplicá-la por dois.
Entre a primeira e a terceira linha os ingredientes foram multiplicados por 3, isto é, triplicaram. Esta é a ideia de triplo. Quando queremos encontrar o triplo de certa quantidade, basta multiplicá-la por três.


Propriedades da Multiplicação no Conjunto dos Números Naturais
Como na operação de adição no conjunto dos Números Naturais, a multiplicação também possui propriedades.

a) Propriedade Comutativa

Observe a seguinte situação:

Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento, teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento.

Isto é: m x n = n x m
 

b) Propriedade Distributiva

Observe a seguinte situação e determine o número de figuras geométricas:

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m . ( p + q ) = m . p + m . q

A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, também é válida para a subtração.

6 . 5 – 6 . 2 =                                                  6 . (5 – 2) =
30 – 12 = 18                                                   6 . 3 = 18

c) Propriedade Associativa

Observe a situação:

Temos 3 caixas, com 6 pacotes de bombom em cada caixa. Cada pacote de bombom contém 12 bombons.
Para resolver podemos fazer de diferentes formas:

(3 x 6) x 12                                                    3 x (6 x 12) =
18 x 12 = 216                                                 3 x 72 = 216

 

Links relacionados para Pesquisa

http://www.somatematica.com.br/

http://mandrake.mat.ufrgs.br/edumatec/

http://www.obmep.org.br/

http://www.matematicahoje.com.br/

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/

Literatura

Olá Pessoal!

Tem gente que pensa que professor de Matemática não gosta de ler, mas esse certamente não é o meu caso. Não sei se vocês gostam de literatura, mas para quem gosta, vou dar duas dicas relacionadas à Matemática.

O Diabo dos Números

'... odeio tudo o que tenha a ver com matemática.

 

– E por quê?

 

– “Se 2 padeiros fazem 444 rosquinhas em 6 horas, de quanto tempo precisarão 5 padeiros para fazer 88 rosquinha?” Coisa mais idiota – Robert seguiu resmungando. – Um jeito estúpido de marcar o tempo. Portanto desapareça! Caia fora!

 

Com elegância, o diabo dos números saltou de sua folha de azedinha e foi sentar-se ao lado de Robert, que, em sinal de protesto, se acomodara na grama alta como as árvores.

 

– De onde você tirou essa história das rosquinhas? Provavelmente da escola.

 

– E de onde mais poderia ser? – disse Robert. – O professor Bockel, um novato que dá aula de matemática para nós, está sempre com fome, embora já esteja bem gordo. Quando ele pensa que não estamos vendo, porque estamos fazendo as contas que ele passa, ele tira escondido outra rosquinha de sua pasta. E devora a rosquinha enquanto nós fazemos as nossas contas.

 

– Tudo bem – disse o diabo dos números com um sorrisinho irônico. – Não quero falar nada contra o seu professor, mas isso não tem nada a ver com matemática. Sabe de uma coisa? A maioria dos matemáticos de verdade nem sabe fazer contas. E, além do mais, eles nem têm tempo pra isso. Para fazer contas existem as calculadoras. Você não tem uma?

 

– Tenho, mas não podemos usar na escola.

 

– Ah... Não tem importância. Um pouquinho de tabuada não faz mal a ninguém – disse o diabo dos números. – Pode ser bastante útil quando a bateria acaba. Mas matemática, meu caro, é outra coisa bem diferente!'

 

(O diabo dos números, Hans Magnus Enzensberger, Cia das Letras, 1997, p.11-14)

O livro apresenta 12 capítulos, em cada um deles o Robert (o menino de pijama azul) sonha com o Diabo dos Números e este lhe ensina truques sobre a Matemática. É bem interessante! Segundo o autor, a Matemática é diabolicamente divertida!

O Teorema do Papagaio

 

'Como todos os alunos do mundo, Jonathan cruzara com Tales várias vezes. Todas as vezes, o professor tinha lhe falado do teorema, nunca do homem. Aliás, na aula de matemática, nunca se falava de ninguém. De vez em quando, aparecia um nome, Tales, Pitágoras, Pascal, Descartes, mas era só um nome. Como o de um queijo ou de uma estação de metrô. Também não se falava nem de onde nem de quando a coisa tinha acontecido. As fórmulas, as demonstrações, os teoremas aterrissavam no quadro-negro. Como se ninguém os tivesse criado, como se houvessem estado ali desde sempre, como as montanhas e os rios. Aliás as montanhas não estão aqui desde sempre.'

(O teorema do papagaio, Denis Guedj, Cia das Letras, 1999, p.31)

A leitura do livro de Denis Guedj, O teorema do papagaio, é apaixonante, pois em meio a uma história de mistério, num enredo repleto de coincidências e surpresas, as personagens recorrem à história da matemática para elucidar os acontecimentos, desvendando assim a trama do livro.

 

Outra dica é o livro 'O homem que Calculava'. Trata da divisão de camelos assim como uma vasta aventura nos cálculos matemáticos, quem não souber matemática sairá no prejuízo. É um pouco cansativo este livro mas o final é valioso. Um livro interessante, pois apresenta um vasto conhecimento de cálculos.

http://www.youtube.com/watch?v=XdSmQ_kBn6I

 

 

 

Para quem cursa Matemática, nada melhor do que conhecer a obra de Malba Tahan, o lendário brasileiro que escreveu as aventuras de um persa em viagem a Bagdá que resolvia problemas utilizando a lógica matemática. Um extraordinário livro - que segue a moda de As Mil e uma Noites - em que o personagem demonstra como os cálculos nos ajudam a decifrar e resolver problemas da vida.

 

 

 

 

Não se preocupe muito com as suas
dificuldades em Matemática, posso
assegurar-lhe que as minhas são
ainda maiores. (Albert Einstein)

Conjuntos Numéricos

Alguns alunos que ingressam nos cursos superiores apresentam dificuldades em algumas disciplinas da graduação por não terem pré-requisitos básicos necessários para os estudos que elas propõem.

 

Muitas vezes as dificuldades são em relação a conteúdos básicos estudados no Ensino Fundamental e no Ensino Médio e que ainda não são de domínio do aluno.

Ao longo do ensino fundamental e médio, você já conheceu os conjuntos numéricos que vamos apresentar abaixo. O primeiro deles, o conjunto dos números naturais, você certamente conheceu inclusive antes de estar na escola, pois os números naturais são utilizados em muitas situações cotidianas nas quais mesmo crianças muito pequenas estão envolvidas. Um exemplo: situações de contagem (de anos, de brinquedos, etc.).

Ainda no início do ensino fundamental, você conheceu as frações e os números decimais, que pertencem ao conjunto dos números racionais. Nesse primeiro momento, as frações e os decimais eram apenas positivos, pois só mais tarde (pela 6ª série) você deve ter estudado o conjunto dos números inteiros . É a partir do estudo dos números inteiros que passamos a compreender que os números podem ser positivos, negativos ou zero.

No final do ensino fundamental, 7ª e 8ª séries, você conheceu o conjunto dos números irracionais (que compreende os números não-racionais, ou seja, aqueles que não podem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteiros) e o conjunto dos números reais (que consiste na união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais).

No ensino médio, você deve ter conhecido mais um conjunto, denominado conjunto dos números complexos, que contém o conjunto dos números reais e que define a unidade imaginária i:

 

 

Representação de Números com Material Concreto

Como vimos no “jogo do nunca dez”, no sistema de numeração decimal, é necessário formar grupos de dez e fazer as devidas trocas: 10 unidades são trocadas por 1 dezena; 10 dezenas são trocadas por 1 centena; 10 centenas são trocadas por 1 unidade de milhar, e assim sucessivamente.

Para que as crianças compreendam essas trocas e o seu registro, existem materiais de manipulação que auxiliam na construção desses conceitos, entre eles o ábaco, o material dourado e o quadro valor lugar (QVL).


ÁBACO

O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por bastões paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...), que deslizam livremente.

Paulo tem 12 carrinhos. Vamos representar a quantidade de carrinhos no ábaco. Não podemos esquecer-nos das trocas.

 

Atividade Sugerida:


1) Jogos Online: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_209_g_1_t_1.html

MATERIAL DOURADO

O Material Dourado foi criado por Maria Montessori e destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal (valor posicional) e dos métodos para efetuar as operações fundamentais.
Normalmente, é construído em madeira, com quatro formatos: o “cubinho” (a unidade), a barra (a dezena), a placa (a centena) e o “cubão” (a unidade de milhar).

 

Atividade Sugerida: 1) Jogos Online: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_152_g_1_t_1.html

QUADRO VALOR DE LUGAR - QVL

O quadro valor de lugar (QVL) é um recurso didático utilizado na Matemática na introdução dos conceitos de unidade, dezena e centena e nas operações matemáticas.

 

 

Sistema de Numeração em Diferentes Bases

Sistema de Numeração Binário

O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois números: zero e um (0 e 1).
Os computadores trabalham internamente com dois níveis de tensão pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica boleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term).
 

Atividades sugeridas:

1) Jogo do nunca 2:

Regras: Nunca podemos ficar com dois canudos da mesma cor. 2 canudos amarelos são trocados por um vermelho; 2 canudos vermelhos são trocados por um verde; 2 canudos verdes são trocados por um azul.

 

Resolva: Qual o número  máximo de canudos amarelos que posso usar para jogar nunca 2 com quatro cores? R: 15 canudos.

 

 

Objeto de aprendizagem Online: Representar números em diferentes bases





http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_152_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html 

 

Outra forma para encontrar a representação de um número decimal na forma binária é dividindo por 2 e registrando os restos. Exemplo: Registrar o número 25 na base 10 na numeração binária.

 

 

Características do jogo "Nunca 2":

 

-  Agrupamento são feitos de 2 em 2; algarismos utilizados são 0 a 1.

- O algarismo colocado imediatamente á esquerda vale duas vezes mais do que  se estivesse na posição anterior.

 

Na base 2, a base usada nos computadores binários, o número 110101 representa:

 



Conceitos Lógicos Matemáticos e o Conceito de Número

Para Piaget (1973, 1976, 1978), o conhecimento lógico matemático é uma construção, e resulta da ação mental da criança sobre o mundo. Não é inerente ao objeto, pois é construído a partir das relações que a criança elabora na sua atividade de pensar o mundo. É uma operação mental, e consiste de relações que não podem ser observáveis, que se deve a diversos estados de abstração.

 

É uma pertença biológica que, apesar de ser interna, não nasce pronta e precisa ser desenvolvida nos indivíduos, pois o processo lógico matemático proporciona uma melhor compreensão do mundo e da sociedade para o indivíduo. Ressalta que o conhecimento dos conceitos lógicos matemáticos é essencial na formação do conceito do número. O autor destaca que a construção do conhecimento lógico matemático se faz a partir da vivência da criança, aliada às situações de desafio que
lhe são colocadas, na escola e em casa, pois ela constrói ativamente estes conceitos, nas relações com o meio ambiente e com os outros.

Segundo Lorenzato (2006), para que o professor tenha sucesso na organização de situações que propiciem a exploração matemática pelas crianças, é necessário que ele conheça os processos mentais básicos para aprendizagem da matemática, entre eles: correspondência, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação.

O autor afirma que, se o professor não trabalhar com as crianças esses processos, elas terão dificuldades para aprender número e contagem, entre outras noções.
 

 

CLASSIFICAÇÃO

As atividades de classificação têm como objetivo reconhecer as características de um conjunto e separar elementos que não pertencem a ele. Constroem as relações de pertinência (quando relacionamos cada elemento com a classe à qual pertence), a relação de inclusão de classes (quando relacionamos uma subclasse com a classe maior em que ela se encaixa) e as relações simétricas (quando relacionamos objetos com as suas semelhanças). Se A tem a mesma cor de B, então B tem a mesma cor de A. Estabelece a relação entre a parte e o todo.

Quando a criança perceber as semelhanças entre elementos de um conjunto, estará apta a perceber a semelhança entre as quantidades.

 

Por exemplo: uma coleção de 3 carros e uma coleção de 3 balões (propriedade numérica 3). A criança também deve perceber que dentro do 3 está o 2; dentro do 2 está o 1 (hierarquia de classes).

Atividade sugerida: Materiais manipulativos: conjunto de peças com critérios para formar subconjuntos.

Exemplo: Conjunto de peças com critérios para formar subconjuntos. Por exemplo: 8 peças com “carinhas” de crianças, com critérios: sexo, cor de pele, expressão de alegre ou triste, entre outros. Pedir para agrupar as peças segundo algum critério escolhido pelo aluno.

RELAÇÃO DE ORDEM - SERIAÇÃO

A seriação tem como objetivo organizar objetos por alguma diferença, segundo algum critério.

 

Enquanto a classificação trabalha mais com as semelhanças entre os elementos, a seriação trabalha mais com as diferenças entre eles.

 

Dizemos que estamos seriando os elementos de uma coleção quando estabelecemos entre eles uma relação de diferença que possa ser quantificada, permitindo que os elementos sejam colocados em ordem crescente ou decrescente. Constrói o conhecimento do número ordinal, o conceito de inclusão e de reversibilidade. Na seriação obtemos uma fila, na qual cada elemento tem seu lugar bem definido, e a relação que se estabelece entre ele e seus antecessores e sucessores tem as propriedades recíproca ou antissimétrica (Se A é maior que B, então B é menor que A) e a transitiva (se Paulo é irmão de João e João é irmão de Maria, pode-se concluir que Maria é irmã de Paulo).
Em relação ao número, podemos dizer que a série numérica é o resultado da seriação de classes de conjuntos. Qualquer conjunto de 3 elementos estará colocado depois do conjunto de 2 elementos e antes do conjunto de 4 elementos. A relação entre a primeira classe e a segunda, ou entre a segunda e a terceira, é “+1”. No caso da ordem decrescente, seria “-1”.
Quando formamos uma fila com atributos físicos, por exemplo, cor, estamos trabalhando com uma grandeza não quantificável, e a essa “fila” chamamos de sequência.

Atividade sugerida:

a) Completar sequências com alternância de elementos:
 

b) Seriações com mudanças de tamanho (iniciar com objetos tridimensionais, bidimensionais e, por fim, de uma dimensão). Ordem crescente e decrescente.

c) Leitura de livros (seriações com os personagens desses livros infantis):

BELINKY, Tatiana. O Grande Rabanete. São Paulo: Moderna, 1999.

WOOD, Andrey. A Casa Sonolenta. São Paulo: Ática, 1999.

d) Jogos Online:

- Completar séries segundo padrões de cores:

 http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_184_g_1_t_1.html?from=category_g_1_t_1.html

- Seguir séries formadas por padrões sonoros e de cor (xilofone):

http://cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/memo_xilo.html

CORRESPONDÊNCIA  TERMO A TERMO

A correspondência termo a termo consiste em associar os elementos de dois conjuntos formando pares (uma cadeira para um menino; um menino para uma cadeira).

Se coincidem os elementos, e não sobra nenhum, se diz que esses conjuntos têm o mesmo número de elementos. Tem como objetivo a correspondência biunívoca, que é o ato de estabelecer relação “um a um”. Mais tarde, a correspondência será exigida em situações do tipo: a cada quantidade, um número (cardinal), a cada número, um numeral, a cada posição (numa sequência ordenada), um número

ordinal (LORENZATO, 2006).

Atividade sugerida:

a) Jogo online: Jogo das Sombras

www.sitiodosmiudos.pt/57/miniclick.asp?modulo=010701

b) Ligar dois conjuntos de elementos com relação de igualdade ou com uma relação entre si.

INCLUSÃO DE CLASSES

É o ato de fazer abranger um conjunto por outro. Exemplos: incluir as ideias laranja e banana, em frutas; meninos e meninas, em crianças; losangos, retângulos e trapézios, em quadriláteros (LORENZATO, 2006).

CONSERVAÇÃO

É o ato de perceber que a quantidade não depende da arrumação, forma ou posição.

Exemplos: um copo largo e outro estreito, ambos com a mesma quantidade de água; duas filas de tampinhas com a mesma quantidade, mas com arranjo espacial diferente. (LORENZATO, 2006).

QUANTIFICADORES

Têm como objetivo, dado um conjunto de elementos, ver se alguns desses elementos possuem uma determinada característica, por exemplo, todos, alguns, nenhum.

Atividade sugerida:

Dos exemplos abaixo quais são os animais selvagens?

 

 

CARDINALIDADE

O cardinal refere-se ao total de elementos que possui um (sub)conjunto e significa a relação da inclusão presente no conceito do número. As atividades de cardinalidade têm como objetivo reconhecer o número cardinal de uma determinada coleção de objetos. É necessário relacionar, dentre um conjunto de coleções de diferentes tamanhos, o(s) correspondente(s) com o seu cardinal.

Atividade sugerida:

a) Ligue o conjunto com seu respectivo cardinal:

 

b) Jogos Online:

 

Máquina da Contagem

www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/contar1.html

 

Cardinalidade

www.junior.te.pt/servlets/Jardim?=Jogos&ID=15

 

 

ORDINALIDADE

As atividades ligadas ao conceito de ordinalidade têm como objetivo, dada uma sequência de objetos, indicar a ordem em que aparecem os elementos. O ordinal refere-se a um só elemento, indica a posição desse elemento em um (sub)conjunto ordenado e seu significado remete à relação de ordem presente no conceito do número.

 

Atividade sugerida:

a) Observe a figura e responda às questões, preenchendo as lacunas.

Conforme Piaget e Smeminska (1975), o conceito do número está diretamente ligado com a inclusão de classes e a ordenação serial. A síntese do número ocorre quando a criança associa os resultados de inclusão de classes com os de seriação das relações, desconsiderando o aspecto de qualidade. Para os autores, o número é classe e relação assimétrica ao mesmo tempo, ele não deriva de uma ou de outra,

mas sim da reunião entra elas. Salientam que, para afirmar que a criança conhece o número, não basta ela saber contar verbalmente, pois essa criança pode ser capaz de enumerar uma fila de seis fichas, mas supor que, ao dividir essas fichas em dois grupos de dois e quatro elementos, não equivale, em sua reunião, à quantidade inicial das fichas.

BLOCOS LÓGICOS



Um conjunto de Blocos Lógicos (BL) é formado de 48 peças distintas umas das outras pela cor (azul, vermelho ou amarelo), pela forma (quadrado, círculo, triângulo ou retângulo), pela espessura (grosso ou fino) e pelo tamanho (grande ou pequeno).

Além da discriminação visual e tátil de forma, cor, espessura e tamanho, auxiliam a organização do pensamento lógico, imprescindível para a aquisição de conhecimento da matemática, alfabetização, bem como de qualquer outra aprendizagem.

Recomenda-se que, inicialmente, as crianças, para reconhecimento do material, brinquem livremente, e só então, se introduzam as atividades dirigidas. Esta etapa é fundamental e deve preceder qualquer atividade com BL. Somente quando os alunos começam a classificar as peças conforme atributos é que o professor deve apresentar jogos com regras.

A seguir sugestão de atividades com blocos lógicos:

1) Descoberta do atributo

a) O professor mostra uma peça e pede que as crianças procurem na caixa outras peças que tenham a mesma cor (ou o mesmo tamanho ou a mesma espessura).

b) Cada criança recebe uma peça do conjunto e deve colocá-la no conjunto certo, traçado no chão com giz ou cordão, obedecendo à etiqueta.

 

 

c) Uma criança do grupo escolhe uma peça e desenha seu contorno numa folha de papel. Os colegas têm que fazer uma pilha de peças que se encaixem exatamente sobre o desenho feito.

 

2) Construção de figuras: em grupos, as crianças vão tirando da caixa de BL as peças que a professor solicita. Por exemplo: 1 círculo grande, 1 círculo pequeno, 2 triângulos pequenos, 2 quadrados pequenos. O professor desafia: - Vamos ver quem consegue montar um pintinho com essas peças? O professor pode variar a brincadeira, solicitando peças necessárias para formar casinha, carrinho ou outras figuras sugeridas pelos alunos



 

 

3) Jogo do detetive: crianças em círculo. No chão, o professor faz, com o cordão ou giz, conjuntos com algumas peças que caracterizam o conjunto pela cor, forma ou tamanho ou espessura.

 

 

O professor vai acrescentando, uma a uma, as demais peças dos BL nos conjuntos respectivamente. Se o professor colocar a peça no conjunto certo os alunos ficam em silêncio. Caso colocar uma peça no conjunto ao qual não pertence, como, por exemplo, um triângulo no conjunto dos círculos, os alunos devem bater palmas. O jogo deve variar com cada criança colocando uma peça nos conjuntos e os demais alunos, os “detetives”.

 

4) Séries: podem ser feitas em pequenos grupos com as peças distribuídas entre os alunos. O professor inicia a série, colocando algumas peças sobre a mesa ou no chão. Os alunos continuam a série. As séries podem ser propostas pelos próprios alunos.

 

 5) Jogo do “SIM” ou “NÃO”: o professor pensa em uma peça qualquer do conjunto de BL. Os alunos têm que tentar descobrir a peça, fazendo perguntas lógicas. O professor só poderá responder “sim” ou “não”. Por exemplo: A peça pensada é o círculo, pequeno, azul, fino. Os alunos perguntam.
- É quadrado? – Não
- É grosso? – Não. E assim por diante, até descobrir a peça.
Pode-se fazer a tabela abaixo, para anotar, as características perguntadas e ir eliminando os atributos que a peça não tem e descobri-la mais rapidamente.
Siglas: Am = amarelo; Verm = vermelho; Az = azul.

 

O Sistema de Numeração Decimal

Como resultado de pesquisas realizadas em diferentes lugares surge na Índia uma das grandes invenções da história da Matemática: o sistema de numeração decimal.

Em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, anuncia em uma conferência que os hindus realizavam cálculos utilizando apenas nove sinais. A referência a nove, e não a dez símbolos, significava que o passo mais importante dos hindus para formar o seu
sistema de numeração, a invenção do zero, ainda não tinha chegado ao Ocidente.
A ideia da notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo, ocorreu na Índia no final do século VI. Com a introdução do zero, o sistema de numeração, tal qual o conhecemos hoje, estava completo (GUELLI, 1998).

Hoje estes símbolos são chamados de algarismo indo-arábicos, pois os árabes, durante o reinado, travaram uma série de guerras de conquistas. Como prêmio dessas conquistas, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum. Esse califa era apaixonado pelas Ciências e contratou vários sábios muçulmanos, entre eles al-Khowarizmi,que compreendeu o sistema de numeração hindu. Para contar ao mundo a sua descoberta, escreveu o livro chamado “Sobre a arte hindu de calcular”, explicando o funcionamento dos dez símbolos hindus.

Os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ficaram conhecidos como a notação de alKhowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus, que deu origem ao termo algarismo. São estes números, criados pelos hindus e difundidos pelos árabes, que constituem o nosso sistema de numeração decimal, que ficaram conhecidos como algarismos indo-arábicos (GUELLI, 1998).

Agrupar e reagrupar de 10 em 10 é uma das características desse sistema de numeração, que, por isso, é chamado de sistema de numeração decimal. Também dizemos que esse sistema é de base 10.
No sistema de numeração decimal indo-arábico, os grupos de cem são denominados centenas. Os grupos de dez, dezenas, e os objetos soltos, unidades. Os algarismos assumem valores diferentes dependendo do lugar em que ele está escrito (valor posicional) e o algarismo zero faz parte desse sistema.
Atividades sugeridas:

1) Jogo do Nunca 10.

Regras: Nunca podemos ter dez canudos da mesma cor.
10 canudos amarelos são trocados por um vermelho; 10 canudos vermelhos são trocados por um verde; 10 canudos verdes são trocados por um azul. Utiliza os algarismos de 0 a 9.

Valor Posicional

Observe o valor do algarismo 1, em função da posição que ocupa no número:

1→ vale uma unidade.
16 → nesta posição o 1 representa 10 unidades ou 1 dezena.
106 → nesta outra posição, o 1 representa 100 unidades ou 1 centena.
1325 → na posição em que está agora, representa 1 000 unidades ou 1 unidade de milhar.
16937 → agora, o algarismo 1 representa 10 000 unidades ou 1 dezena de milhar.

O número posicional baseia-se no princípio multiplicativo, isto é, cada algarismo representa o produto dele mesmo pelo valor da posição que ocupa. Por exemplo:

Número 328:
3 x 100 → 3 centenas 2 x 10 → 2 dezenas 8 x 1 → 8 unidades

O número é a soma dos valores que cada um dos símbolos representa (princípio aditivo). Por exemplo, no número 328: 300 + 20 + 8 = 328

Unindo o princípio multiplicativo e aditivo temos:

328 = 3 x 100 + 2 x 10 + 8
245 = 2 x 10² + 4 x 10 + 5 = 200 + 40 + 5
2467= 2 x 10³ + 4 x 10² + 6 x 10 + 7 x 10° = 2000 + 400 + 60 + 7


Classe de Ordem

Para facilitar a leitura e a escrita de um número, separamos seus algarismos, da direita para a esquerda, em grupos de três. Cada um desses grupos é uma classe.
Cada posição dos algarismos recebe o nome de ordem.